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2005年北京理科试卷及答案 —— 高考数学试题 |
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| 2005年北京理科试卷及答案 —— 高考数学试题 |
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作者：佚名 文章来源：不详更新时间：2006-5-30 14:13:18  |
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2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（理工农医类）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷 1至2页，第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）设全集U=R，集合M={x| x>1，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是
（A）M＝P （B）P M （C）M P （ D）
（2）“m= ”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的
（A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（3）若 ，且 ，则向量 与 的夹角为
（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°
（4）从原点向圆 x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为
（A）π （B）2π （C）4π （D）6π
（5）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是
（A）sin(α+β)>sinα+sinβ （B）sin(α+β)>cosα+cosβ
（C）cos(α+β)<sinα＋sinβ （D）cos(α+β)<cosα＋cosβ
（6）在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是
（A）BC//平面PDF （B）DF⊥平面PA E
（C）平面PDF⊥平面ABC （D）平面PAE⊥平面 ABC
（7）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为
（A） （B） （C） （D）
（8）函数f(x)=
（A）在 上递增，在 上递减
（B）在 上递增，在 上递减
（C）在 上递增，在 上递减
（D）在 上递增，在 上递减
二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
（9）若 , ，且 为纯虚数，则实数a的值为 ．
（10）已知tan =2，则tanα的值为 ，tan 的值为 .
（11） 的展开式中的常数项是 （用数字作答）
（12）过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ．
（13）对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：
①f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)；② f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)； ③ >0；④ .
当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 .
（14）已知n次多项式 ,
如果在一种算法中，计算 （k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算 的值共需要 次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法： （k＝0， 1，2，…，n－1）．利用该算法，计算 的值共需要6次运算，计算 的
值共需要 次运算．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题共13分）
已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,
（I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
（16）（本小题共14分）
如图, 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝2 ，AA1＝ ，AD⊥DC，AC⊥BD, 垂足未E，
（I）求证：BD⊥A1C；
（II）求二面角A 1－BD－C 1的大小；
（III）求异面直线 AD与 BC 1所成角的大小．
（17）（本小题共13分）
甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概率 ，
（I）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；
（II）求乙至多击中目标2次的概率；
（III）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．
（18）（本小题共14分）
如图，直线 l1：y＝kx（k>0）与直线l2：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2．
（I）分别用不等式组表示W1和W2；
（II）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；
（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．
（19）（本小题共12分）
设数列{an}的首项a1=a≠ ，且 ,
记 ，n＝＝l，2，3，…·．
（I）求a2，a3；
（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（III）求 ．
（20）（本小题共14分）
设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．
对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．
（I）证明：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x*，1)为含峰区间；
（II）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r；
（III）选取x1，x2∈(0, 1)，x1＜x2，由（I）可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.
（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学
（理工农医类）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1） C （2）B （3）C （4）B （5）D （6）C （7）A （8）A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10）－ ；－ （11）15 （12）(1, e)；e
（13）②③ （14） n(n＋3)；2n
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．
故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．
（16）（共14分）
（I）在直四棱柱ABCD－AB1C1D1中，
∵AA1⊥底面ABCD．∴ AC是A1C在平面ABCD上的射影．
∵BD⊥AC．∴ BD⊥A1C；
（II）连结A1E，C1E，A1 C1．
与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴ ∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角． ∵ AD⊥DC，∴ ∠A1D1C1=∠ADC＝90°，
又A1D1=AD＝2，D1C1= DC＝2 ，AA1= 且 AC⊥BD，
∴ A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴ A1E＝2，C1E＝2 ，
在△A1EC1[1] [2] 下一页
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